Aron Eliaschow wurde am 12. August 1876 als Sohn des Holzhändlers und Geschäftsmanns Salomon Eliaschow und seiner Frau Rebekka, geborene Frohmann, in Königsberg in Preußen geboren; er kam in den Jahren vor dem Ersten Weltkrieg nach Heilbronn, wo er als Textilkaufmann im Kaufhaus Landauer arbeitete und schließlich württembergischer Staatsbürger wurde. Eliaschow nannte sich seit etwa 1914 Adolf Elsner, ohne die Namensänderung jemals formal anerkennen zu lassen.
Am 6. September 1921 heiratete Elsner die 22 Jahre jüngere Eugenie König, genannt Jenny, Tochter des Heilbronner Schreiners Hermann König. Sie trat im Jahr 1926 aus der evangelischen Kirche aus; es ist unbekannt, ob sie diesen Schritt ihrem Mann zuliebe getan hat.
Die gemeinsame Wohnung des Ehepaars war zunächst im Haus Kaiserstraße 12, danach in der Kernerstraße 19. Elsner war inzwischen zum Prokuristen bei Landauer aufgestiegen; ab 1928 arbeitete er drei Jahre in Hof in Bayern im dortigen Kaufhaus Ury, dessen Eigentümerfamilie mit den Gebrüdern Landauer in Heilbronn verwandt war.
Nach seiner Rückkehr eröffnete Adolf Elsner im Januar 1932 im Haus Fleiner Str. 9 ein „Spezialhaus für moderne Damenkleidung“ und empfahl es der Heilbronner Damenwelt in grafisch auffällig gestalteten Anzeigen als „im modernen Geist geführtes Spezialhaus“. Seine Ehe war zu diesem Zeitpunkt schon im Scheitern begriffen; sie wurde im Juli 1932 vor dem Landgericht Heilbronn geschieden, und Jenny König heiratete nur wenige Wochen später den Zahnarzt Fritz Kirstein.
Nach der Machtübernahme durch die NSDAP folgten schnell Repressalien gegen jüdische Ladenbesitzer wie Adolf Elsner. Er wurde sogar von der Nazi-Tageszeitung Heilbronner Tagblatt als besonders verabscheuungswürdiges Beispiel für die angebliche „jüdische Mimikry“ denunziert; sein Namenswechsel wurde als „deutliches Anzeichen für östlich eingestellten Kulturbolschewismus“ verunglimpft. Der Artikel erschien am 1. April 1933, und am selben Tag wurden mehrere Heilbronner Geschäfte mit jüdischen Eigentümern „boykottiert“. Uniformierte Parteimitglieder und SA-Männer postierten sich vor den Läden, vor Elsners Geschäft mit der Parole „Meidet die Juden. Kauft beim Deutschen“.
Wenig später, am 18. Juni 1933, wurde Elsner um 18:30 Uhr tot in der Küche seiner damaligen Wohnung in der Goethestraße 36 aufgefunden. Er war erst 56 Jahre alt, als er sich das Leben nahm.
Sein Grabstein steht noch auf dem jüdischen Friedhof im Breitenloch. Seine geschiedene Frau Jenny arbeitete bis zum Tod ihres Mannes 1960 in der Zahnarztpraxis in Böckingen mit; dann wanderte sie wie ihr Vater in die USA aus, wo sie bis zu ihrem Tod auch mit der Familie einer Nichte Elsners in Kontakt blieb, die bei Elsner in Heilbronn aufgewachsen war.